Modéliser pour prévoir : proportionnalité, fonctions, suites et probabilités

Prévoir sans avoir encore mesuré

Un chef d'exploitation doit répondre chaque semaine à des questions dont il n'a pas la mesure : combien de bouillie préparer pour 7,5 ha, combien vaudra le tracteur dans trois ans, combien de pompes hydrauliques tomberont en panne cette année sur le parc. Il ne peut pas attendre d'avoir vu pour savoir. Il utilise donc un modèle : une traduction en langage mathématique du phénomène, assez simple pour calculer et assez fidèle pour décider. Un modèle est toujours faux quelque part, et c'est précisément pour cela qu'on doit savoir jusqu'où il reste valable. Cette leçon parcourt les quatre modèles que le référentiel attend : proportionnalité, fonctions affines et ajustement, suites, probabilités, et se termine sur la façon de valider un modèle et d'en restituer le résultat.

La proportionnalité et ses limites

Un pulvérisateur réglé à 200 L/ha sur une parcelle de 7,5 ha demande 200 × 7,5 = 1 500 L de bouillie. Si l'on passe à 12 ha, le volume passe à 2 400 L : quand la surface est multipliée par 1,6, le volume l'est aussi. C'est la proportionnalité, et le coefficient est le volume par hectare. On la reconnaît au tableau où le rapport entre les deux lignes est constant, et au graphique où les points sont alignés sur une droite passant par l'origine. Mais tout n'est pas proportionnel. Le rendement du blé ne double pas quand on double l'azote : il monte, plafonne, puis peut baisser. Utiliser la proportionnalité là où elle n'existe pas est l'erreur de modélisation la plus courante. Avant de multiplier, on se demande si zéro cause donne bien zéro effet, et si l'effet reste linéaire sur toute la plage.

Les fonctions affines et l'ajustement à partir de mesures

Une fonction affine s'écrit f(x) = a·x + b : a est la pente, b la valeur à l'origine. Le coût annuel d'un tracteur en est un exemple : des charges fixes de 9 000 € par an, assurance, remisage, amortissement, quelle que soit l'utilisation, plus 22 € par heure de carburant et d'entretien. Le coût annuel pour h heures vaut C(h) = 22h + 9 000. Pour 500 h : 20 000 €. Souvent, on n'a pas la formule mais des mesures. Sur un décompacteur, on relève la consommation à quatre profondeurs : 15 cm, 9 L/h ; 20 cm, 11,2 L/h ; 25 cm, 13 L/h ; 30 cm, 15,1 L/h. Placés dans un nuage de points, ils s'alignent presque. Le tableur trace la droite d'ajustement, ici environ f(p) = 0,40p + 3,0, et donne un coefficient de détermination R² proche de 0,99 : la droite explique presque toute la variation. On peut alors estimer 12 L/h pour 22 cm sans l'avoir mesuré.

Les suites arithmétiques : amortissement linéaire et usure

Un tracteur acheté 90 000 € qu'on prévoit de revendre 30 000 € après 8 ans perd 60 000 € en 8 ans, soit 7 500 € par an en amortissement linéaire. Sa valeur comptable après n années suit une suite arithmétique de premier terme 90 000 et de raison −7 500 : V(n) = 90 000 − 7 500n. Après 3 ans : 67 500 €. Après 8 ans : 30 000 €, comme prévu. Une suite arithmétique modélise tout ce qui perd ou gagne la même quantité à chaque étape : l'usure d'un soc qui perd 2 mm par 100 ha, le niveau d'une cuve qui se vide à débit constant. On la reconnaît à la différence constante entre deux termes consécutifs. Sa représentation graphique est une suite de points alignés.

Les suites géométriques : la décote réelle

Sur le marché de l'occasion, un tracteur ne perd pas la même somme chaque année : il perd un même pourcentage, fort au début, plus faible ensuite. Avec une décote de 15 % par an, sa valeur est multipliée par 0,85 chaque année : V(n) = 90 000 × 0,85ⁿ, une suite géométrique de raison 0,85. Après 1 an : 76 500 €. Après 3 ans : 90 000 × 0,614 = 55 271 €. Après 8 ans : 90 000 × 0,2725 ≈ 24 524 €. Comparez avec le modèle linéaire à 3 ans, 67 500 € : les deux modèles s'écartent de 12 000 €. Lequel est le bon ? Celui qui correspond à la question. L'amortissement linéaire est un choix comptable et fiscal ; la décote géométrique décrit mieux la valeur de revente. Un même objet peut mériter deux modèles, selon ce qu'on veut savoir.

Un modèle probabiliste simple : le risque de panne

Le fabricant d'une pompe hydraulique indique un taux de défaillance de 4 % par an, c'est-à-dire qu'une pompe donnée a une probabilité 0,04 de tomber en panne dans l'année. Sur un parc de 10 matériels équipés de cette pompe, on attend en moyenne 10 × 0,04 = 0,4 panne par an, soit une panne tous les deux ans et demi. Mais « en moyenne » ne dit pas ce qui arrivera cette année. La probabilité qu'aucune des 10 pompes ne tombe en panne, si les pannes sont indépendantes, vaut 0,96¹⁰ ≈ 0,665, soit 66,5 %. Donc la probabilité d'au moins une panne dans l'année vaut 1 − 0,665 = 33,5 %. Une chance sur trois : cela justifie de garder une pompe de rechange en stock avant la saison de pointe, plutôt que d'attendre la panne pour la commander.

Valider un modèle et rester critique

Un modèle se valide en le confrontant à des mesures qu'il n'a pas servi à construire. Si la droite de consommation du décompacteur prévoit 12 L/h à 22 cm et qu'on mesure 12,3, le modèle tient. Si l'on mesure 18, on cherche pourquoi : sol plus sec, dent usée, ou tout simplement sortie du domaine de validité. C'est le deuxième point : un modèle n'est fiable que dans la plage où il a été construit. La droite ajustée entre 15 et 30 cm ne dit rien à 45 cm, où le tracteur risque de caler. La proportionnalité de la bouillie s'arrête à la capacité de la cuve. La décote de 15 % suppose un marché stable. Enfin, on relit toujours l'ordre de grandeur : une valeur de revente négative ou une consommation de 200 L/h sont des signaux d'erreur de calcul, pas des résultats.

Restituer le résultat

La réponse d'un modèle ne se livre jamais comme un nombre seul. Elle tient en quatre lignes : le modèle choisi et pourquoi ; le calcul, avec les unités ; le résultat arrondi de façon raisonnable, 55 000 € plutôt que 55 271,25 € ; et sa limite. Par exemple : « Avec une décote de 15 % par an, modèle géométrique adapté à un marché d'occasion stable, le tracteur vaudra environ 55 000 € dans trois ans. Si le marché se tend, cette valeur peut varier de ± 5 000 €. » Un graphique aide quand il compare deux modèles ou deux scénarios : les deux courbes de valeur, linéaire et géométrique, sur le même repère, avec les années en abscisse. Celui qui lit doit pouvoir refaire le calcul et contester l'hypothèse : c'est à cela qu'on reconnaît une restitution honnête.

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